数学自学指南

数学相对于其他理工科，是一门不需要什么仪器设备，只需要几本书，理解定义定理就可以学成的学科。然而，如果需要进行高效的学习，一定需要借助优质学习资源的帮助，来帮助自己通过系统的框架对整体有一个概览，建立对数学的直观形象，以及有更加深刻的理解等。本文是笔者在数学自学过程中对各门课程进行自学后对优质资源进行的一个汇总。

本文封面源于拉斐尔的作品《雅典学院》。

自学目标

深度理解，严密推导

数学依赖于形式语言，如定义、公理和定理，证明过程要求我们准确理解概念的定义以及给出的条件，进行一步步逻辑严谨的推导，任何理解偏差或步骤疏漏都可能导致错误。数学系学生在学习数学过程中应该考虑周密，确保分析问题时考虑到了方方面面，要具备批判性思维，学会质疑假设、构造反例或探索替代路径，以验证推理的稳固性，从而培养更深刻的批判性和问题求解能力。

归纳整理，概括体系

数学系的培养方案已经趋于成熟，传统分为分析、代数、几何三个方向，但是实际上三个方向你中有我我中有你，是一个复杂的网状非线性关系，此时需要学生善于捕捉不同课程之间的关联。对于数学系学生来说，定义、定理固然重要，但真正精华的东西是数学证明的方法、动机这些思想，我们需要整理好证明方法的工具箱，对于某种证明方法，我能不能在条件放宽或者结论放宽的情况下进行推广，能不能应用于一类问题，不同的方法之间在什么情况下它们的优劣情况是怎么样的，这些都需要我们进行体系概括，把杂乱的东西梳理成清晰的结构。

抽象转化，建模分析

数学是科学之基，它来源于各种应用的抽象。学习数学的过程中，需要把形式化语言和现实中的直观印象结合起来，更容易理解。对绝大部分数学系学生来说，大概率也是要走向应用数学的道路。平时学习数学知识的时候，我们就要知道这样的数学理论对应什么样的数学工具，工具适用于解决什么样的问题，这些工具需要使用什么数学软件进行实现，这又需要我们具备数值计算能力。面对没有见过的实际问题，需要通过建模抽象为有成熟解决方案的理论问题。在解决问题后，往往要向别人展现自己解决问题的方案以及结果，这又需要我们具备向别人表达数学的能力。

数学分析

教材

rudin，apostol，于品，陈天权，楼红卫，梅加强，邹应，菲赫金哥尔茨，Tao，备好谢惠民的习题课讲义和汪林的数分反例。

综合来看的话，我比较喜欢的数分教材是周民强与丁彦恒的教材及其学习辅导书，各方面我觉得都写得挺完美的。专门的辅导书比较好的是谢惠民的书。

其次，清华于品以及张友金的数分讲义内容详实，南大梅加强的数分很有特色，也非常值得一看。

楼红卫的书有教材有辅导书都可以借鉴，就是风格太偏硬分析且介绍各种奇奇怪怪的技巧。

崔尚斌，陈天权，张筑生，史济怀的书有些年代了，但也都值得一读。

徐森林的教材和习题，东南李逸的两卷分析，我认为只能作为参考资料，仍有一定借鉴意义。

华师数分以及陈纪修的数分我觉得适合高中生入门或者非数学专业学生以及数学专业数学基础薄弱的学生学习。裴礼文的那本辅导书不考研的话没必要看。

我投伍胜健一票(我个人认为如果你的教材是华东师大，你可以用伍胜健把华东师大完全替代掉)

至于学习指导

中规中矩适合新手:林源渠，裴礼文

颇有难度适合拔高:谢惠民

徐森林的数学分析就挺不错的，难度跟广度都量大管饱

数分国内教材都差不多，只是特点不一样！我推荐中科大常庚哲史济怀的那本，还有方企勤的数学分析习题集

个人认为最好的是

胡适耕。

李扬强化讲义

至于做题，直接做林源渠老师那本红皮书（数学分析新讲重排本第一册的最靠前几页已经说了这是新讲的配套习题）、裴礼文老师的砖头第三版、谢惠民老师的数分讲义第二版、徐森林老师的数学分析精选习题全解这些习题集的例题就好了，压根不需要在意什么教材课后题，这些习题集才是真正以做题为专业、为本职工作的书本，对做题的技巧讲解肯定远比大多数只有100到200页的教材课后题内容清晰得多，例题够全面够丰富够难。（这些习题集的实体书我都有。）